Question

【題目】求證 ：直角坐標平面上的格點凸七邊形（每個頂點均為格點———縱 、橫坐標均為整數(shù)的點）的內(nèi)部最少包含四個格點.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

首先，不妨設(shè)格點凸七邊形的各邊的內(nèi)部都沒有格點（否則，如的內(nèi)部有一個格點，則用七邊形代替原來的七邊形，由于格點個數(shù)有限，故這種過程一定會在某一步終止）.

其次，任何五個格點或五個頂點的坐標按奇偶性分類，至多有四類：（奇，奇），（偶，偶），（奇，偶），（偶，奇），因而，必有五個頂點中的某兩個點屬于同一類，這兩點的中點也是格點，且點M在凸七邊形的內(nèi)部.

考慮這五個格點，其中某兩點的中點也是格點，且點在七邊形的內(nèi)部.

同理，由格點五邊形（若為的中點，則取格點五邊形）可確定另一個格點也在七邊形的內(nèi)部，如圖所示.

直線將平面分為兩部分，其中必有某一側(cè)至少含有格點凸七邊形的三個頂點.不妨設(shè)在的同一側(cè)，則由凸五邊形可知，七邊形的內(nèi)部還有第三個格點.

（1）若的另一側(cè)也含有七邊形的三個頂點，同理可得第四個格點.

（2）若的另一側(cè)至多含兩個頂點和，則、在直線上或與在的同一側(cè)，這時，又有兩種情況：

（ⅰ）若點不在內(nèi)，則、、、、組成凸五邊形，又可得到一個格點（第四個）；

（ⅱ）若點在內(nèi)（或邊上），則、、、、組成凸（非凹）五邊形，可得到第四個格點（注：若、在同一側(cè)，、與、、在同側(cè)，則考慮五邊形）.

另一方面，容易舉出一個例子，使得七邊形的內(nèi)部恰有四個格點.