Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2（n為正整數(shù)）．
（1）記c_n=

an

2n

，證明數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列；  
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）令b_n=log₂a₁+log₂

a2

2

+…+log₂

an

n

，求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2，得

an+1

2n+1

=

an

2n

+1，由此能推導(dǎo)出數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）知，cn=n，又cn=

an

2n

，由此能求出an=n•2n．
（3）

1

bn

=2(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （本小題滿分12分）．
（1）證明：由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2，得S_n+1=2a_n+1-2ⁿ⁺²+2，
作差，得：an+1=2an+1-2a1-2n+1，
即an+1=2an-2n+1，

an+1

2n+1

=

an

2n

+1，…（2分）
n=1時(shí)，a₁=2，c₁=1，
∴c_n+1=c_n+1，
∴數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．…（4分）
（2）解：由（1）知，cn=n，又cn=

an

2n

，
∴an=n•2n．…（8分）
（3）解：

an

n

=2n，log2

an

n

=n，bn=

n(n+1)

2

，

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，

Tn=2[(1- 1 2 )+( 1 2 - 1 3 )+…+( 1 n - 1 n+1 )]

=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．