Question

已知f（x）=x³+ax²-a²x+2．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點M（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若a＞0，求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得切線斜率，求出切點坐標(biāo)，可得曲線y=f（x）在點M（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)a＞0，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=x³+x²-x+2
∴f′（x）=3x²+2x-1                                            （1分）
∴k=f′（1）=4，
又f（1）=3，∴切點坐標(biāo)為（1，3），
∴所求切線方程為y-3=4（x-1），
即4x-y-1=0．（5分）
（Ⅱ）f′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a）
由f′（x）=0得x=-a或x=

a

3

                                     （7分）
①當(dāng)a＞0時，由f′（x）＜0，得-a＜x＜

a

3

．
②當(dāng)a＜0時，由f′（x）＞0，得x＜-a或x＞

a

3

此時f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-a，

a

3

），
單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）．（11分）
故所求函數(shù)f（x）的極大值為f（-a）=a³+2，f（x）的極小值為f（

a

3

）=2-

5a3

27

．                 （13分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，屬于中檔題．