Question

15．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-4x
（1）求f（-2）的值；
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，求f（x）的解析式；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）在[t-1，t+1]（t＞1）上的最大值為g（t），求g（t）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的解析式求出f（2）的值即可；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式即可；
（3）通過(guò)討論t的范圍，求出g（t）的最小值即可．

解答 解：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-4x，
故f（-2）=f（2）=-4；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=x²+4x，
又f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=x²+4x，
故x＜0時(shí)，f（x）=x²+4x；
（3）∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-4x，
∴1＜t≤2，即|2-（t-1）|≥|（t+1）-2|時(shí)，
g（t）=f（t-1）=t²-6t+5，
t＞2，即|2-（t-1）|＜|（t+1）-2|時(shí)，
g（t）=f（t+1）=t²-2t-3，
故g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-6t+5，1＜t≤2}\\{{t}^{2}-2t-3，t＞2}\end{array}\right.$，
故t=2時(shí)，g（t）_min=-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是一道中檔題．