Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且滿足f(

3

2

-x)=f(x)，f（-2）=-3，數(shù)列{a_n}滿足a₁=-1，且

Sn

n

=2×

an

n

+1（其中S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和），則f（a₅）+f（a₆）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)和f(

3

2

-x)=f(x)，推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3為周期的周期函數(shù)．再由a₁=-1，且S_n=2a_n+n，推知a₅=-31，a₆=-63計(jì)算即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∵f(

3

2

-x)=f(x)，
∴f(

3

2

-x)=-f(-x)
∴f（3+x）=f（x）
∴f（x）是以3為周期的周期函數(shù)．
∵S_n=2a_n+n，∴S_n-1=2a_n-1+（n-1），（n≥2）．
兩式相減并整理得出a_n=2a_n-1-1，即a_n-1=2（a_n-1-1），
∴數(shù)列{a_n-1}是以2為公比的等比數(shù)列，首項(xiàng)為a₁-1=-2，
∴a_n-1=-2•2^n-1=-2ⁿ，a_n=-2ⁿ+1，
∴a₅=-31，a₆=-63，
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用以及數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式，在函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用中相互結(jié)合轉(zhuǎn)化中奇偶性，對稱性和周期性之間是一個(gè)重點(diǎn)．