Question

9．定義：二階行列式$|\begin{array}{l}{a}&\\{c}&zof1xs8\end{array}|$=ad-bc（a，b，c，d∈R）．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，$|\begin{array}{l}{{a}_{n+2}}&{{a}_{n+1}}\\{{a}_{n+1}}&{{a}_{n}}\end{array}|$=（-1）ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）求證：a_n+2=2a_n+1+a_n（n∈N^*）
（Ⅲ）試問該數(shù)列任意兩個(gè)相鄰項(xiàng)的平方和仍然是該數(shù)列中的一個(gè)項(xiàng)嗎？如果是，請(qǐng)證明你的結(jié)論；如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （I）由$|\begin{array}{l}{{a}_{n+2}}&{{a}_{n+1}}\\{{a}_{n+1}}&{{a}_{n}}\end{array}|$=（-1）ⁿ⁺¹（n∈N^*），可得a_n+2a_n-$（{a}_{n+1}）^{2}$=（-1）ⁿ⁺¹，又a₁=1，a₂=2，${a}_{3}×1-{2}^{2}$=1，解得a₃．同理可得：a₄，a₅．
（II）a_n+2a_n-$（{a}_{n+1}）^{2}$=（-1）ⁿ⁺¹，a_n+3a_n+1-$（{a}_{n+2}）^{2}$=（-1）ⁿ⁺²，可得a_n+2a_n-$（{a}_{n+1}）^{2}$+a_n+3a_n+1-$（{a}_{n+2}）^{2}$=0，利用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n+2=2a_n+1+a_n（n∈N^*）．
（III）n=1時(shí)，${a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}$=5=a₃．由已知可得：a_n+2a_n-$（{a}_{n+1}）^{2}$+a_n+3a_n+1-$（{a}_{n+2}）^{2}$=0，可得$（{a}_{n+1}）^{2}$+$（{a}_{n+2}）^{2}$=a_n+2a_n+a_n+3a_n+1，?a_n+2=2a_n+1+a_n（n∈N^*）．

解答 （I）解：∵$|\begin{array}{l}{{a}_{n+2}}&{{a}_{n+1}}\\{{a}_{n+1}}&{{a}_{n}}\end{array}|$=（-1）ⁿ⁺¹（n∈N^*），∴a_n+2a_n-$（{a}_{n+1}）^{2}$=（-1）ⁿ⁺¹，
又a₁=1，a₂=2，∴${a}_{3}×1-{2}^{2}$=1，解得a₃=5．
同理可得：a₄=12，a₅=29．
（II）證明：∵a_n+2a_n-$（{a}_{n+1}）^{2}$=（-1）ⁿ⁺¹，
∴a_n+3a_n+1-$（{a}_{n+2}）^{2}$=（-1）ⁿ⁺²，
∴a_n+2a_n-$（{a}_{n+1}）^{2}$+a_n+3a_n+1-$（{a}_{n+2}）^{2}$=0，
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n+2=2a_n+1+a_n（n∈N^*）．
（i）當(dāng)n=1時(shí)，2a₂+a₁=5=a₃，成立．
（ii）假設(shè)n=k∈N^*時(shí)，a_k+2=2a_k+1+a_k，
則a_k+2（a_k+2-2a_k+1）-$（{a}_{k+1}）^{2}$+${a}_{k+3}{a}_{k+1}-（{a}_{k+2}）^{2}$=0，
化為：a_k+3=2a_k+2+a_k+1．
因此n=k+1時(shí)等式a_n+2=2a_n+1+a_n（n∈N^*）成立．
綜上，?n∈N*，a_n+2=2a_n+1+a_n．
（III）解：n=1時(shí)，${a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}$=5=a₃．
由a_n+2a_n-$（{a}_{n+1}）^{2}$+a_n+3a_n+1-$（{a}_{n+2}）^{2}$=0，可得$（{a}_{n+1}）^{2}$+$（{a}_{n+2}）^{2}$=a_n+2a_n+a_n+3a_n+1，
?a_n+2=2a_n+1+a_n（n∈N^*），
因此該數(shù)列任意兩個(gè)相鄰項(xiàng)的平方和仍然是該數(shù)列中的一個(gè)項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了行列式的運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．