Question

設x，y∈R，向量

a

=(x+

3

，y) ，

b

=(x-

3

，y)，且|

a

| +|

b

| =4．
（1）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過點P（0，2）作直線l，交曲線C于A，B兩點，又O為坐標原點．若

OA

•

OB

=

12

5

，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析：（1）根據所給的向量的坐標和兩個向量的模長之和，得到點（x，y）表示到A（

3

，0）與B（-

3

，0）兩個點的距離之和等于定值4，且4＞2

3

，得到點（x，y）在以A，B為焦點的橢圓上，且2a=4，a=2，c=

3

，得到橢圓的方程．
根據題意設出直線的方程，設出要用的點的坐標，直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，整理出關于x的一元二次方程，整理判別式與兩根的和與積，得到縱標之積，根據所給的兩個向量的數量積，列出關于k的方程，得到結果．

解答：解：（1）∵向量

a

=(x+

3

，y) ，

b

=(x-

3

，y)，且|

a

| +|

b

| =4．
∴

(x+ 3 )2+y2

+

(x- 3) 2+y2

=4
∴點（x，y）表示到A（

3

，0）與B（-

3

，0）兩個點的距離之和等于定值4，且4＞2

3

=AB
∴點（x，y）在以A，B為焦點的橢圓上，且2a=4，a=2，c=

3

∴b²=4-3=1
∴橢圓的方程是

x2

4

+y2=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵點P（0，2）作直線l，由題意知直線的斜率一定存在設為k，
∴直線的方程是y-2=k（x-0）
直線與橢圓的方程聯(lián)立得（1+4k²）x²+16kx+12=0
由△＞0得k2＞

3

4

x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=

-20k2

1+4k2

+4
∵O為坐標原點，

OA

•

OB

=

12

5

，
∴x1x2+y1y2=

12

5

∴

12

1+4k2

+

-20k2

1+4k2

+4=

12

5

∴k²=1，滿足使得判別式大于0，
∴k=±1
∵直線的傾斜角的范圍是[0，π）
∴直線的傾斜角是

π

4

或

3π

4

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，本題解題的關鍵是根據所給的向量的模長的幾何意義，看出軌跡，再根據聯(lián)立方程來解決問題，注意方程聯(lián)立時，一元二次方程的形式不要出錯，注意驗證判別式大于0，本題是一個難題．