Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+blnx（a，b∈R）
（1）當(dāng)a=-3，b=1時，求f（x）的極小值；
（2）當(dāng)b=-1時，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y=f（x）的切線，求證：切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1；
（3）當(dāng)a=0，b=1時，g（x）=[f（x）-x²-1]e^x+x，是否存在實(shí)數(shù)x₀∈（0，+∞），使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-3，b=1時，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的極小值；
（2）當(dāng)b=-1時，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y=f（x）的切線，可得2t+a-

1

t

=

f(t)

t

，即可證明切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1；
（3）證明x₀∈（0，+∞），g'（x₀）＞0，即方程g'（x₀）=0無實(shí)數(shù)解，即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）=x²-3x+lnx，則f′（x）=2x-3+

1

x

，
令f′（x）=0，得x=1，或x=

1

2

．
當(dāng)0＜x＜

1

2

時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)

1

2

＜x＜1時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增
∴f（x）在x=1處取得極小值-2；
（2）證明：當(dāng)b=-1時，f（x）=x²+ax-lnx．
設(shè)切點(diǎn)為M（t，f（t）），則f′（x）=2x+ax-

1

x

切線的斜率k=2t+a-

1

t

，又切線過原點(diǎn)k=

f(t)

t

，
∴2t+a-

1

t

=

f(t)

t

，
∴t²-1+lnt=0，
t=1滿足方程t²-1+lnt=0，
設(shè)φ（t）=t²-1+lnt，則φ′（t）=2t+

1

t

＞0，
∴φ（t）在（0，+∞）遞增，且φ（1）=0，
∴t²-1+lnt=0有唯一解，
∴切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1；
（3）解：當(dāng)a=0，b=1時，g（x）=[f（x）-x²-1]e^x+x=（lnx-1）e^x+x，
∴g′（x）=（

1

x

+lnx-1）e^x+1，
∵x₀∈（0，+∞），
∴

1

x0

+lnx0-1≥0，
∵ex0＞0，
∴g′（x₀）≥1＞0，
曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線與y軸垂直等價于方程g'（x₀）=0有實(shí)數(shù)解．
而g'（x₀）＞0，即方程g'（x₀）=0無實(shí)數(shù)解．
故不存在x₀∈（0，+∞），使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線與y軸垂直．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，屬于中檔題．