Question

如圖，四棱椎P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成的角是30°，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）證明：無(wú)論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有AF⊥PE；
（Ⅲ）求當(dāng)BE的長(zhǎng)為多少時(shí)，二面角P-DE-A的大小為45°．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由題設(shè)中的條件E，F(xiàn)為中點(diǎn)可得EF∥PC，由此可判斷出EF與平面PAC的位置關(guān)系是平行；
（Ⅱ）由題意可得此題是證明線面垂直的問(wèn)題，即證明直線AF垂直于平面PBE，而當(dāng)點(diǎn)E在BC上無(wú)論怎樣運(yùn)動(dòng)時(shí)直線PE都在此平面內(nèi)，因此只需證明已知直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可；
（Ⅲ）過(guò)A作AG⊥DE于G，連PG，根據(jù)二面角的定義可得∠PGA是二面角P-DE-A的平面角，因?yàn)椤螾GA=45°且PD與平面ABCD所成角是30°，所以∠PDA=30°，進(jìn)而可得一些有關(guān)相等的長(zhǎng)度，設(shè)BE=x，則GE=x，CE=

3

-x，利用△DCE是直角三角形．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，EF與平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點(diǎn)，∴EF∥PC又EF?平面PAC
而PC?平面PAC
∴EF∥平面PAC．
（Ⅱ）證明：∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴EB⊥PA，
又∵EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，
又∵AF?平面PAB，∴AF⊥BE，
又∵PA=AB=1，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，
∴AF⊥PE．
（Ⅲ）解：過(guò)A作AG⊥DE于G，連PG，
∵DE⊥PA，∴DE⊥平面PAG，則∠PGA是二面角P-DE-A的平面角，
∴∠PGA=45°
∵PD與平面ABCD所成角是30°，
∴∠PDA=30°，
∴AD=

3

，PA=AB=1．
∴AG=1，DG=

2

，
設(shè)BE=x，則GE=x，CE=

3

-x，
在Rt△DCE中，（

2

+x）²=（

3

-x）²+1²，
得BE=x=

3

-

2

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，得到有關(guān)線面垂直、線線垂直的結(jié)論，以及利用這些垂直關(guān)系解決二面角問(wèn)題．