Question

在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，△AMC的三邊長(zhǎng)是連續(xù)三個(gè)正整數(shù)，且tan∠C=cot∠BAM．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）求∠BAC的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）假設(shè)∠BAM=α，∠MAC=β，根據(jù)正弦定理可找到α，β與B，C的正弦之間的關(guān)系，進(jìn)而再由誘導(dǎo)公式可確定α與β的關(guān)系．
（Ⅱ）先設(shè)出3個(gè)連續(xù)的整數(shù)，再由勾股定理確定關(guān)系，根據(jù)余弦定理和二倍角公式可求出角BAC的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)∠BAM=α，∠MAC=β，
則由tanC=cotα得α+C=90°∴β+B=90°
△ABM中，由正弦定理得

BM

sinα

=

AM

sinB

，即

sinB

sinα

=

AM

MB

．
同理得

sinC

sinβ

=

AM

MC

，
∵M(jìn)B=MC，∴

sinB

sinα

=

sinC

sinβ

，
∴sinαsinC=sinβsinB∵α+C=90°，β+B=90°，∴sinαcosα=sinβcosβ
即sin2α=sin2β，∴α=β或α+β=90°
當(dāng)α+β=90°時(shí)，AM=

1

2

BC=MC，
與△AMC的三邊長(zhǎng)是連續(xù)三個(gè)正整數(shù)矛盾，
∴α=β，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．

（Ⅱ）在直角三角形AMC中，設(shè)兩直角邊分別為n，n-1，斜邊為n+1，
由（n+1）²=n²+（n-1）²得n=4，
由余弦定理或二倍角公式得cos∠BAC=

7

25

．
或cos∠BAC=-

7

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用．三角函數(shù)部分公式比較多，一定要強(qiáng)化記憶．