【題目】如圖，在正三棱柱中，底面的邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，是線段上一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

（1）若，求直線和平面所成角的正弦值；

（2）若二面角的正弦值為，求的長(zhǎng).

【答案】（1）（2）1或3.

【解析】分析：（1）求出與平面的法向量即可計(jì)算；

（2）設(shè)，則，用a表述出平面的一個(gè)法向量，而是平面的一個(gè)法向量，即可計(jì)算出a的值，從而可得答案.

詳解：根據(jù)題意得，，，

所以，，

（1）當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，得，

即，取，得，

設(shè)和平面所成角為，

則 ，

所以和平面所成角的正弦值為.

（2）設(shè)，則，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，得，

即，取，得，

顯然是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)二面角的大小為，則，

所以 ，

解得或3，所以的長(zhǎng)為1或3.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示的幾何體ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥ AB，M是EC上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），F(xiàn)為DA上的點(diǎn)，N為BE的中點(diǎn)．

（Ⅰ）若M是EC的中點(diǎn)，AF=3FD，求證：FN∥平面MBD；
（Ⅱ）若平面MBD與平面ABD所成角（銳角）的余弦值為 ，試確定點(diǎn)M在EC上的位置．

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【題目】函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分圖象如圖所示，為了得到g（x）=Acosωx的圖象，只需將函數(shù)y=f（x）的圖象（ ）
A.向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度
B.向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度
D.向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度

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【題目】在平行四邊形ABCD中， ， ，若將其沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，則三棱錐D﹣ACB的外接球的表面積為（ ）
A.16π
B.8π
C.4π
D.2π

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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn ， 若an+1+（﹣1）nan=n，則S40= ．

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【題目】如圖，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，過A作AE⊥CD，垂足為E，現(xiàn)將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.

(1)求證：BC⊥面CDE;

(2)在線段AE上是否存在一點(diǎn)R，使得面BDR⊥面DCB，若存在，求出點(diǎn)R的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）若函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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【題目】如圖所示，將一矩形花壇擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇，要求點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且對(duì)角線過點(diǎn)，已知米，米．

（1）要使矩形的面積大于平方米，則的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)?

（2）當(dāng)的長(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形花壇的面積最小?并求出最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，近日我漁船編隊(duì)在島周圍海域作業(yè)，在島的南偏西20°方向有一個(gè)海面觀測(cè)站，某時(shí)刻觀測(cè)站發(fā)現(xiàn)有不明船只向我漁船編隊(duì)靠近，現(xiàn)測(cè)得與相距31海里的處有一艘海警船巡航，上級(jí)指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小時(shí)的速度向島直線航行以保護(hù)我漁船編隊(duì)，30分鐘后到達(dá)處，此時(shí)觀測(cè)站測(cè)得間的距離為21海里．

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)試問海警船再向前航行多少分鐘方可到島？

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