Question

已知函數(shù)f(x)=loga(x2-ax+1)．
（1）若定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若此函數(shù)在區(qū)間[2，3]上是遞增的，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得x²-ax+1＞0恒成立，故有

a＞0 a≠1 △=a2-4＜0

，由此求得a的范圍．
（2）令t=x²-ax+1，分①當(dāng)a＞1時、和②當(dāng)0＜a＜1兩種情況，由題意根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求得a的范圍，再取并集，即得所求．

解答：解：（1）由題意可得：要使f（x）的定義域為R，則對任意的實數(shù)x都有x²-ax+1＞0恒成立，故有

a＞0 a≠1 △=a2-4＜0

，
解得，0＜a＜1，或1＜a＜2，即a的范圍為（0，1）∪（1，2）．
（2）令t=x²-ax+1，①當(dāng)a＞1時，因為此函數(shù)在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)，則t=x²-ax+1在[2，3]上為增函數(shù)．
所以a要滿足

a 2 ≤2 4-2a+1＞0

，解得1＜a＜

5

2

．
②當(dāng)0＜a＜1時，由題意可得，t=x²-ax+1在[2，3]上為減函數(shù)．
所以a要滿足

a 2 ≥3 9-3a+1＞0

，a無解．
綜上，a的取值范圍1＜a＜

5

2

，即a的范圍為（1，

5

2

）．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．