Question

【題目】已知雙曲線： .

（1）已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值；

（2）過點(diǎn)作直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，若弦恰被點(diǎn)平分，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) m=±2 (2) 4x﹣y﹣2=0

【解析】試題分析：（Ⅰ）分別設(shè)A，B的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求出，

（Ⅱ）分別設(shè)M，N的坐標(biāo)為（x3，y3），（x4，y4），可得y32﹣x32=1，y42﹣x42=1，兩式相減，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理可得MN的斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得所求直線方程

試題解析：

解：（Ⅰ）分別設(shè)A，B的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2）

由，消y可得，x2﹣4mx+2（m2﹣1）=0，

∴x1+x2=4m，x1x2=2（m2﹣1），

∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=16m2﹣8（m2﹣1）=8（m2+1），

∴|AB|==4，解得m=±2，

（Ⅱ）分別設(shè)M，N的坐標(biāo)為（x3，y3），（x4，y4），可得y32﹣x32=1，y42﹣x42=1，

兩式相減，可得（y3﹣y4）（y3+y4）=（x3﹣x4）（x3+x4），

由點(diǎn)P（1，2）為MN的中點(diǎn)，

可得x3+x4=2，y3+y4=4，

∴4（y3﹣y4）=×2（x3﹣x4），∴kMN==4 經(jīng)檢驗(yàn)

即直線l的方程為y﹣2=4（x﹣1），即為4x﹣y﹣2=0