Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足

a

=(x2，y)，

b

=(x-

1

x

，-1)，且

a

•

b

=-1．如果存在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足：a1=

1

2

，

n

i=1

f(ai)-n=

n

i=1

ai3-n2an(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）證明：

n

i=1

ai i

＜3．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與向量的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）先根據(jù)函數(shù)y=f（x）滿足

a

=(x2，y)，

b

=(x-

1

x

，-1)，且

a

•

b

=-1可的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用滿足：a1=

1

2

，

n

i=1

f(ai)-n=

n

i=1

ai3-n2an(n∈N*)． 從而利用疊乘可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）由題意得，利用裂項(xiàng)法求和，和不等式的性質(zhì)．即可證明．

解答： 證明：（1）

∵ a • b =-1

，∴y=x³-x+1（x≠0），
∵

n

i=1

f(ai)-n=

n

i=1

ai3-n2an(n∈N*)，
∴

n

i=1

ai=n2an (1)
又∵

n-1

i=1

ai=(n-1)2an-1(2)
兩式相減得：

an

an-1

=

n-1

n+1

．
則an=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

=

1

n(n+1)

(n∈N*)，
（2）由（1）得：

n

i=1

ai i

=

n

i=1

1 i2(i+1)

，
∵

1 i2(i+1)

＜

1 (i-1)i(i+1)

＜

2

(i-1)(i+1)•( i-1 + i-1 )

=

1

i-1

-

1

i-1

(i≥2)
∴

n

i=1

1 i2(i+1)

=

1 2

+

n

i=2

1 i2(i+1)

＜

1 2

+

n

i=2

(

1

i-1

-

1

i-1

)
=

1 2

+1+

1 2

-

1

n

-

1

n+1

＜1+

2

＜3．
問題得證明．

點(diǎn)評：本題以向量為載體，考查數(shù)列問題，考查疊乘法求數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)法求和，由一定的綜合性．