Question

已知直線a與平面α所成的角為15°，點(diǎn)P為空間一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作與α成45°、與a成60°的直線l可以作（　　）

A．2條

B．3條

C．4條

D．無(wú)數(shù)條

Answer 1

分析：設(shè)直線a與平面α交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作與α成45°的直線，它在如圖的軸截面為等腰直角三角形的圓錐側(cè)面上運(yùn)動(dòng)．設(shè)a在α內(nèi)的射影為直線b，a、b確定的平面為β，由直線與平面所成角的性質(zhì)可得當(dāng)圓錐的母線在落在平面β內(nèi)時(shí)，它與a所成角為60°或30°．由此將圓錐的母線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)并觀察母線與直線a所成角的變化，可得圓錐側(cè)面上共有三條母線所在的直線與a所成角為60°，由此結(jié)合異面直線所成角的定義可得滿足條件的直線l的條數(shù)．

解答：解：設(shè)直線a與平面α相交于點(diǎn)A，a在α內(nèi)的射影直線為b，
設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為A點(diǎn)，圓錐的軸AO⊥平面α，圓錐的軸截面為等腰
Rt△ABC，如圖所示．
可得圖中圓錐的任意一條母線與平面α所成角都等于45°，
設(shè)直線c為圓錐的一條母線所在直線，直線a、b確定的平面為β，
由直線與平面所成角的性質(zhì)，可得當(dāng)c落在平面β內(nèi)時(shí)，
直線c與直線a所成角等于45°+15°或45°-15°，
當(dāng)c與AB所在直線重合時(shí)，c與a所成角為60°；當(dāng)c與AC所在直線重合時(shí)，c與a所成角為30°．
當(dāng)直線c從AC的位置按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)到AB位置時(shí)，a、c所成角從30°增大到90°，再減小到60°，
這個(gè)過(guò)程中必定有一個(gè)位置滿足c與a所成角為60°；
同理當(dāng)直線c從AC的位置按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)到AB位置時(shí)，這個(gè)過(guò)程中也存在一個(gè)位置滿足c與a所成角為60°．
綜上所述，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線c共有3條滿足c與a所成角為60°．
將滿足條件的直線c平移到使它經(jīng)過(guò)空間的點(diǎn)P得到直線l，
根據(jù)異面直線所成角的定義，可得直線l與直線a所成角為60°，滿足條件的直線l有3條．
∴過(guò)點(diǎn)P作與α成45°、與a成60°的直線l可以作3條．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線a與平面α所成角的大小，求過(guò)點(diǎn)P作與α成45°且與a成60°的直線l的條數(shù)．著重考查了異面直線所成角的定義及性質(zhì)直線與平面所成角的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．