Question

．(本小題滿分14分)設(shè)拋物線的方程為，為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為,.

（1）當(dāng)的坐標(biāo)為時(shí)，求過三點(diǎn)的圓的方程，并判斷直線與此圓的位置關(guān)系；

（2）求證：直線恒過定點(diǎn)；

（3）當(dāng)變化時(shí)，試探究直線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，若不存在，說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

解：(1)當(dāng)的坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，代入，整理得，

令，解得，

代入方程得，故得，       ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052501245162501606/SYS201205250128473281353065_DA.files/image001.png">到的中點(diǎn)的距離為，

從而過三點(diǎn)的圓的方程為．

易知此圓與直線相切.              ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）證法一：設(shè)切點(diǎn)分別為,,過拋物線上點(diǎn)的切線方程為，代入，整理得    

，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052501245162501606/SYS201205250128473281353065_DA.files/image021.png">，所以．．．．．．．．．．．．．．．．5分

從而過拋物線上點(diǎn)的切線方程為即

又切線過點(diǎn)，所以得    ①   即

同理可得過點(diǎn)的切線為，

又切線過點(diǎn)，所以得    ②   即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

即點(diǎn)，均滿足即，故直線的方程為                                  ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

又為直線上任意一點(diǎn)，故對(duì)任意成立，所以，從而直線恒過定點(diǎn)       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

證法二：設(shè)過的拋物線的切線方程為，代入，消去，得    

即：．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

從而，此時(shí)，

所以切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052501245162501606/SYS201205250128473281353065_DA.files/image051.png">，，

，

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為

故直線的方程為，即.．．．．．．．．．．．．．．7分

又為直線上任意一點(diǎn)，故對(duì)任意成立，所以，從而直線恒過定點(diǎn)       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

證法三：由已知得，求導(dǎo)得，切點(diǎn)分別為,，故過點(diǎn)的切線斜率為，從而切線方程為即

又切線過點(diǎn)，所以得    ①   即

同理可得過點(diǎn)的切線為，

又切線過點(diǎn)，所以得    ②  

即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

即點(diǎn)，均滿足即，故直線的方程為                     ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

又為直線上任意一點(diǎn)，故對(duì)任意成立，所以，從而直線恒過定點(diǎn)       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）解法一：由（2）中①②兩式知是方程的兩實(shí)根，故有

（*）

將，，代入上（*）式得

∴

，     ．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

①當(dāng)時(shí)，，直線上任意一點(diǎn)均有，為直角三角形；                                                 ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

②當(dāng)時(shí)，，，不可能為直角三角形；

                                                ．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

③當(dāng)時(shí)，，.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052501245162501606/SYS201205250128473281353065_DA.files/image051.png">，，

所以

若，則，整理得，

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052501245162501606/SYS201205250128473281353065_DA.files/image086.png">，所以，

因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052501245162501606/SYS201205250128473281353065_DA.files/image087.png">有解的充要條件是.

所以當(dāng)時(shí)，有或，為直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，直線上任意一點(diǎn)，使為直角三角形，當(dāng)時(shí)，直線上存在兩點(diǎn)，使為直角三角形；當(dāng)或時(shí)，不是直角三角形.

．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

解法二：由（2）知，且是方程的兩實(shí)根，即，從而，

所以

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，直線上任意一點(diǎn)均有，為直角三角形；                                                 ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，與不垂直。

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052501245162501606/SYS201205250128473281353065_DA.files/image051.png">，，

所以

若，則，整理得，

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052501245162501606/SYS201205250128473281353065_DA.files/image086.png">，所以，

因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052501245162501606/SYS201205250128473281353065_DA.files/image087.png">有解的充要條件是.

所以當(dāng)時(shí)，有或，為直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，直線上任意一點(diǎn)，使為直角三角形，當(dāng)時(shí)，直線上存在兩點(diǎn)，使為直角三角形；當(dāng)或時(shí)，不是直角三角形.

．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

 

【解析】略