已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)(a>0)的最小值為0.
(1)求a的值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,n)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在,則存在x0∈(m,n)使得f′(x0)=
f(n)-f(m)
n-m
.根據(jù)這一結(jié)論證明:若-a<x1<x2,函數(shù)g(x)=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
(x-x1)+f(x1),則對任意x∈(x1,x2),都有f(x)<g(x)成立.
(3)若et+n≥1+n對任意的正整數(shù)n都成立(其中e為自然對數(shù)的底),求實數(shù)t的最小值.
考點:利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),從而求出單調(diào)區(qū)間,進而得到函數(shù)的極值,從而求出a的值,
(2)令h(x)=f(x)-g(x),求出h(x)的導(dǎo)數(shù),得出h(x)<h(x1 )=0,h(x)<h(x2 )=0,從而解決問題,
(3)由et+n≥1+n取自然對數(shù)得:t≥ln(1+n)-n,得-n+ln(1+n)的最大值為-1+ln2,從而求出t的最小值.
解答: 解:(1)∵f(x)的定義域為(-a,+∞),f′(x)=
x+a-1
x+a
,
令f′(x)>0,解得:x>1-a,
令f′(x)<0,解得:-a<x<1-a,
∴f(x)在(-a,1-a)遞減,在(1-a,+∞)遞增,
∴f(x)極小值=f(1-a)=0,
∴a=1,
(2)令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-
f(x1)-f(x2)
x1-x2
(x-x1 )-f(x1 ),
則h′(x)=f′(x)-
f(x1)-f(x2)
x1-x2

∵f(x)在x∈(x1,x2)上存在導(dǎo)數(shù),
∴?x0∈(x1,x2),
使得:f′(x0)=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
,
又∵f′(x)=
x
1+x
,
∴h′(x)=
x-x0
(1+x)(1+x0)
,
∵x∈(x1,x0)時,h′(x)<0,h(x)遞減,
∴h(x)<h(x1 )=0,
∵x∈(x0,x2)時,h′(x)>0,h(x)遞增,
∴h(x)<h(x2 )=0,
∴對?x∈(x1,x2),都有f(x)<g(x),
(3)由et+n≥1+n取自然對數(shù)得:
t+n≥ln(1+n),
故t≥ln(1+n)-n,
由(1)知f(x)=x-ln(x+1)在[1,+∞)遞增,
∴-x+ln(1+x)在[1,+∞)遞減,
得-n+ln(1+n)的最大值為-1+ln2,
∴t≥ln2-1,
∴t的最小值為ln2-1.
點評:本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,不等式的證明,是一道綜合題.
練習(xí)冊系列答案
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已知數(shù)列{an}中,a1=1,當 n≥2時,an=
Sn
+
Sn-1
2

(1)證明數(shù)列 {
Sn
}是一個等差數(shù)列; 
(2)求an

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求log927的值.

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若三個數(shù)a-4,a+2,26-2a適當排列后構(gòu)成遞增等差數(shù)列,求a的值和相應(yīng)的數(shù)列.

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某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售,如果當天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.
(Ⅰ)若花店一天購進17枝玫瑰花,求當天的利潤y(單位:元)關(guān)于當天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得表:
日需求量14151617181920
頻數(shù)10201616151310
①假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進17枝玫瑰花,求這100天的日利潤(單位:元)的平均數(shù);
②若花店一天購進17枝玫瑰花,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,
(文科)(1)求當天的利潤不少于75元的概率.
(理科)(2)求當天的利潤X(單位:元)的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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設(shè)函數(shù)y=
x+1,(x≤0)
x2-2,(0<x<1)
3,(x≥1)
,畫出求函數(shù)值y的算法框圖.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,A<B<C,A,B,C成等差數(shù)列,公差為θ,且
1
sinA
3
2
2sinB
,
1
sinC
也成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求θ;
(Ⅱ)若a=
6
-
2
,求△ABC的面積.

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已知:如圖P為△ABC所在平面外一點,AP=AC,BP=BC,D為PC的中點,求證:PC⊥平面ABD.

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數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),Sn其前n項和,對于任意的n∈N*總有an,Sn,an2成等差數(shù)列
(1)求a1; 
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,且bn=
1
an2
,求證:對任意正整數(shù)n,總有Tn<2.

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