Question

已知函數(shù)，數(shù)列{x_n}滿足x₁=，x_n+1=f（x_n）；若b_n=．
（1）求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ為非零整數(shù)，n∈N*），試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由f（x）的式子給出x_n+1的表達(dá)式，然后由b_n的式子給出b_n+1的表達(dá)式，再用等比數(shù)列的定義證出是一個(gè)常數(shù)，最后由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式給出b_n的表達(dá)式；
（2）用作差的方法得到一個(gè)關(guān)于λ和n的不等式，根據(jù)變量n的奇偶性將不等式分為兩種情況進(jìn)行討論，得出λ的范圍，最后從所得范圍中找出λ的整數(shù)值．
解答：解：（1）由已知，，
∴=-2，（4分）
∴{b_n}是等比數(shù)列，且q=-2；又，∴b_n=（-2）ⁿ．（6分）
（2）要使c_n+1＞c_n恒成立，
即要c_n+1-c_n=[3ⁿ⁺¹-λ（-2）ⁿ⁺¹]-[3ⁿ-λ（-2）ⁿ]=2•3ⁿ+3λ（-2）ⁿ＞0恒成立，
即要恒成立．下面分n為奇數(shù)、n為偶數(shù)討論：（8分）
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即恒成立．又的最小值為1．∴λ＜1．
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即恒成立，又的最大值為-，∴λ＞-．
綜上，，又λ為非零整數(shù)，
∴λ=-1時(shí)，使得對(duì)任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合了函數(shù)、數(shù)列、不等式三個(gè)常見(jiàn)考點(diǎn)，屬于難題．第一小問(wèn)證明等比數(shù)列，抓住函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵；第二小問(wèn)求參數(shù)λ的范圍，注意運(yùn)用變量分離的方法，結(jié)合分類討論的思想進(jìn)行解答．