Question

已知函數(shù)，數(shù)列{x_n}滿足x₁=1，x_n+1=f（x_n），n∈N^*
（1）求數(shù)列{x_n}的通項公式．
（2）記a_n=x_nx_n+1，S_n=a₁+a₂+…+a_n，n∈N^*，求證：S_n＜3．

Answer 1

解：（1）由題意，
由得
∴（4分）
于是數(shù)列是以公差為的等差數(shù)列，且首項為1，
故，
所以． （8分）
證明：（2）（11分）
∴
=（15分）
分析：（1）先由f（x）的式子給出x_n+1的表達(dá)式，然后變形得出表達(dá)式，再用等差數(shù)列的定義得出數(shù)列是以公差為的等差數(shù)列，最后由等差數(shù)列的通項公式給出{x_n}的表達(dá)式；
（2）先求出a_n，用拆項求和的方法進(jìn)行求和式，根據(jù)變量n的范圍進(jìn)行放縮，最后從所得范圍中證得結(jié)論．
點評：本題綜合了函數(shù)、數(shù)列、不等式三個常見考點，屬于難題．第一小問構(gòu)造一個等差數(shù)列，抓住函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵；第二小問求證不等式，注意運用拆項求和的方法進(jìn)行解答．