Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左頂點為A，左焦點為F，點P為該橢圓上任意一點；若該橢圓的上頂點到焦點的距離為2，離心率e=

1

2

，則

AP

•

FP

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據題意，設P（x，y）根據橢圓的方程，易得A₁、F₂的坐標，將其代入

AP

•

FP

中，可得關于x、y的關系式，結合雙曲線的方程，可得

AP

•

FP

=

1

4

x2+3x+5，（-2≤x≤2），求二次函數的值域．

解答： 解：∵該橢圓的上頂點到焦點的距離為2，
∴a=2，
∵離心率e=

1

2

，
∴c=1，
∴b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1
設P（x，y），
又A（-2，0），F（-1，0），
∴

AP

=(2+x，y)，

FP

=(x+1，y)，

AP

•

FP

=（x+2，y）•（x+1，y）=（x+2）（x+1）+y²
=

1

4

x2+3x+5，（-2≤x≤2）
對稱軸為x=-6
當x=-2時，取得最小值0，當x=2時，取得最大值12，
故答案為[0，12]

點評：本題考查橢圓方程的應用、平面向量數量積的運算等，涉及最值問題．最值問題解題的思路是先設出變量，表示出要求的表達式，結合圓錐曲線的方程，將其轉化為只含一個變量的關系式，進而由不等式的性質或函數的最值進行計算．