Question

下列四個(gè)命題中：
①a，b∈R，a+b≥2

ab

；
②y=

x2+3

+

1

x2+3

的最小值為2；
③設(shè)x，y都是正整數(shù)，若

1

x

+

9

y

=1，則x+y的最小值為16；
④若x，y∈R，ε＞0，|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，則|x-y|＜2ε．
其中所有真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：①，由基本不等式a，b∈R⁺，a+b≥2

ab

可知①錯(cuò)誤；
②，由t=

x2+3

≥

3

知，y=t+

1

t

在[

3

，+∞）上單調(diào)遞增，y_min=

3

+

1

3

≠2，可判斷②；
③，依題意，對(duì)x，y的取值情況分類討論，可判斷③；
④，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，由基本不等式的條件a，b∈R⁺，a+b≥2

ab

可知，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，令t=

x2+3

≥

3

，則y=t+

1

t

在[

3

，+∞）上單調(diào)遞增，y_min=

3

+

1

3

≠2，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，

1

x

+

9

y

=1，x，y∈N*，顯然x≠1，整理得：y=

9x

x-1

，x，y∈N*，
當(dāng)x=2時(shí)，y=18，此時(shí)x+y=20；
當(dāng)x≥3時(shí)，x與x-1互質(zhì)，因此必然有x-1是9的因數(shù)，故x-1=3，9⇒x=4，10，
當(dāng)x=4，y=12時(shí)，x+y=16；當(dāng)x=10，y=10時(shí)，x+y=20．
故（x+y）_min=16，③是正確的．
對(duì)于④，由|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，則|x-2|+|y-2|＜2ε，
又|x-2|+|y-2|≥|（x-2）-（y-2）|=|x-y|，
由|x-2|+|y-2|＜2ε，必然有（|x-2|+|y-2|）_min＜2ε，即|x-y|＜2ε，故④正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的性質(zhì)及應(yīng)用，考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．