Question

9．將圓x²+y²=1上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到曲線C．
（1）寫出曲線C的參數(shù)方程；
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸坐標(biāo)建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}}$）=2$\sqrt{2}$，若P，Q分別為曲線C和直線l上的一點(diǎn)，求P，Q的最近距離．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求出曲線C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，即可寫出曲線C的參數(shù)方程；
（2）設(shè)P（2cosθ，sinθ），利用點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（1）設(shè)（x₁，y₁）為圓上一點(diǎn)，在已知變換下C上的點(diǎn)（x，y），依題意$\left\{{\begin{array}{l}{x=2{x_1}}\\{y={y_1}}\end{array}}\right.$，
由$x_1^2+y_1^2=1$得${（{\frac{x}{2}}）^2}+{y^2}=1$，即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
故C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）；
（2）將l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}⇒y+x=4$，
設(shè)P（2cosθ，sinθ），設(shè)點(diǎn)P到l的距離為d，
$d=\frac{{|{2cosθ+sinθ-4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{4-\sqrt{5}sin（{θ+φ}）}}{{\sqrt{2}}}≥\frac{{4-\sqrt{5}}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}-\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
其中$sinφ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，cosφ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，取等時(shí)$θ+φ=\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓的交點(diǎn)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．