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7.已知三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=-3x2+3且f(0)=-1,gx=xlnx+axa1
(1)求f(x)的極值;
(2)求證:對任意x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)≤g(x2).

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;
(2)法一:問題轉(zhuǎn)化為x≤x2lnx+1(x>0),即x2lnx+1-x≥0(x>0)令h(x)=x2lnx+1-x(x>0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可;
法二:由a≥1知,gxxlnx+1xx0,令hx=xlnx+1xx0,求出h(x)的最小值,從而證明結(jié)論即可;
法三:同法二,求h(x)的最小值時可以二次求導(dǎo).

解答 解:( 1)依題意得f(x)=-x3+3x-1,f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1)
知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是減函數(shù),在(-1,1)上是增函數(shù)
∴f(x)極小值=f(-1)=-3,f(x)極大值=f(1)=1
(2)法1:易得x>0時,f(x)最大值=1,
依題意知,只要1gxx0?1xlnx+axa1x0
由a≥1知,只要x≤x2lnx+1(x>0)?x2lnx+1-x≥0(x>0)
令h(x)=x2lnx+1-x(x>0),則h'(x)=2xlnx+x-1
注意到h'(1)=0,當(dāng)x>1時,h'(x)>0;當(dāng)0<x<1時,h'(x)<0,
即h(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)是增函數(shù),h(x)最小值=h(1)=0
即h(x)≥0,綜上知對任意x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)≤g(x2
法2:易得x>0時,f(x)最大值=1,
由a≥1知,gxxlnx+1xx0,令hx=xlnx+1xx0
hx=lnx+11x2=lnx+x21x2
注意到h'(1)=0,當(dāng)x>1時,h'(x)>0;當(dāng)0<x<1時,h'(x)<0,
即h(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)是增函數(shù),
h(x)最小值=h(1)=1,所以h(x)最小值=1,
即g(x)最小值=1.
綜上知對任意x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)≤g(x2).
法3:易得x>0時,f(x)最大值=1,
由a≥1知,gxxlnx+1xx0,令hx=xlnx+1xx0,則hx=lnx+11x2x0
φx=lnx+11x2x0,則φx=1x+1x30,
知φ(x)在(0,+∞)遞增,注意到φ(1)=0,
所以,h(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)是增函數(shù),
有h(x)最小值=1,即g(x)最小值=1
綜上知對任意x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)≤g(x2).

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明,是一道綜合題.

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