Question

已知函數(shù)f（x）=log₃（9^x+1）+kx，（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-log₃m存在零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x）代入，求得k的值即可；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-log₃m存在零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程log₃

9x+1

m

-x=0有實(shí)根，由此可求m的取值范圍．

解答：解：（1）因為y=f（x）為偶函數(shù)，所以?x∈R，f（-x）=f（x），
即log₃（9^-x+1）-kx=log₃（9^x+1）+kx對于?x∈R恒成立．
即2kx=log₃（9^-x+1）-log₃（9^x+1）=-2x恒成立
即（2k+2）x=0恒成立，
而x不恒為零，所以k=-1；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-log₃m=log₃（9^x+1）-x-log₃m
令log₃（9^x+1）-x-log₃m=0，則方程log₃

9x+1

m

-x=0有實(shí)根
等價于3^2x-m•3^x+1=0有實(shí)根
令3^x=t，則t²-mt+1=0，且t＞0．
由韋達(dá)定理，兩根同號．由t＞0可知，兩根都大于0
所以可得不等式組

m2-4≥0 m＞0

，解得：m≥2

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用偶函數(shù)的定義，合理將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．