Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-mx（m＞0）．
（I） 若m=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（II）求函數(shù)f（x）的最大值g（m），并求使g（m）＞m-2成立的m取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值g（m），設(shè)h（m）=g（m）-（m-2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（I）若m=1，則f（x）=lnx-x．
所以$f'（x）=\frac{1}{x}-1（x＞0）$．
所以f'（1）=0，f（1）=-1．
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=-1．…（5分）
（II） 因?yàn)?f'（x）=\frac{1}{x}-m（x＞0）$，
當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{m}）$時(shí)，f'（x）＞0；$x∈（\frac{1}{m}，+∞）$時(shí)，f'（x）＜0．
所以f（x）在$（0，\frac{1}{m}）$上單調(diào)遞增；在$（\frac{1}{m}，+∞）$上單調(diào)遞減．
所以f（x）的最大值$g（m）=f（\frac{1}{m}）=-lnm-1$．g（m）＞m-2，即g（m）-（m-2）＞0．．
設(shè)h（m）=g（m）-（m-2）=-lnm-m+1．
因?yàn)?h'（x）=-\frac{1}{m}-1＜0$，
所以h（m）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
又因?yàn)閔（1）=0
所以當(dāng)0＜m＜1時(shí)，h（m）＞h（1）=0．
所以m取值范圍為（0，1）．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．