Question

20．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x．
（Ⅰ）求f（x）最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由0≤x≤$\frac{π}{2}$求出2x+$\frac{π}{4}$的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出f（x）的最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x
=sin²x+2sinxcosx+cos²x+2cos²x
=1+sin2x+1+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，…（4分）
所以f（x）的最小正周期為T=π；…（6分）
（Ⅱ）由0≤x≤$\frac{π}{2}$得，
0≤2x≤π，
所以$\frac{π}{4}$≤2 x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$；…（8分）
根據(jù)正弦函數(shù)y=sinx的圖象可知
當(dāng)$x=\frac{π}{8}$時，f（x）有最大值為2+$\sqrt{2}$，…（11分）
當(dāng)$x=\frac{π}{2}$時，f（x）有最小值為1．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的化簡以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．