Question

(13分)在中學(xué)階段,對許多特定集合(如實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集以及平面向量集等)的學(xué)習(xí)常常是以定義運(yùn)算(如四則運(yùn)算)和研究運(yùn)算律為主要內(nèi)容.現(xiàn)設(shè)集合由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成,在上定義一個(gè)運(yùn)算,記為,對于中的任意兩個(gè)元素,,規(guī)定:.
(1)計(jì)算:;
(2)請用數(shù)學(xué)符號語言表述運(yùn)算滿足交換律,并給出證明;
(3)若“中的元素”是“對,都有成立”的充要條件,試求出元素.

Answer 1

(1) . (2)交換律:,證明見解析；(3) .

這是一道新運(yùn)算類的題目，其特點(diǎn)一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據(jù)新運(yùn)算的定義，將已知中的數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算，易得最終結(jié)果．
（1）由已知α⊙β=（ad+bc，bd-ac），將：（2，3）⊙（-1，4）中參與運(yùn)算的兩個(gè)元素代入易得答案．
（2）根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的數(shù)、向量等的交換率，類比給出⊙運(yùn)算的交換率，結(jié)合⊙的定義，不難證明．
（3）根據(jù)充要條件的定義，結(jié)合⊙的定義，不難得到一個(gè)關(guān)于I=（x，y）的方程組，解方程組，即可得到答案．
解:(1) . ………3分
(2)交換律:,      ………4分
證明如下:設(shè),,則,
==.
∴.              ………  8分                 
(3)設(shè)中的元素,對,都有成立,
由(2)知只需,即 
①若,顯然有成立;     
②若,則,解得,        
∴當(dāng)對,都有成立時(shí),得,
易驗(yàn)證當(dāng)時(shí),有對,都有成立………13分
∴.