Question

下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（　　）

• A、y=-log₂x（x＞0）
• B、y=x³+x（x∈R）
• C、y=3^x（x∈R）
• D、y=-

  1

  x

  （x∈R，x≠0）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義，一一加以判斷，即可得到在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的函數(shù)．

解答： 解：對(duì)于A．y=-log₂x的定義域?yàn)椋?，+∞）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不為奇函數(shù)，排除A；
對(duì)于B．y=x³+x（x∈R）定義域R，f（-x）=（-x）³+（-x）=-f（x），即為奇函數(shù)，
又f′（x）=3x²+1＞0，即有f（x）在R上遞增，故B正確；
對(duì)于C．y=3x，定義域?yàn)镽，但f（-x）=3-x≠-f（x），即f（x）不是奇函數(shù)，排除C；
對(duì)于D．y=-

1

x

（x∈R，x≠0）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）=-f（x），是奇函數(shù)，
但在（-∞，0），（0，+∞）上均為增函數(shù)，排除D．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及判斷，注意運(yùn)用定義法，同時(shí)首先考慮定義域，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．