Question

（本小題滿分12分）已知其中是自然對(duì)數(shù)的底 .
(1)若在處取得極值，求的值；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)設(shè)，存在，使得成立，求 的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ) 。(Ⅱ) 綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是，
當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是，增區(qū)間是.  (III) .

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的運(yùn)用，求解極值和單調(diào)區(qū)間，以及證明不等式的總額和運(yùn)用。
（1）.                              
由已知, 解得.
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823232132985855.png" style="vertical-align:middle;" />，對(duì)于參數(shù)a大于零還是小于零，還是等于零分情況討論得到單調(diào)性。
（3）當(dāng)時(shí),由(Ⅱ)知的最小值是；         
易知在上的最大值是，則轉(zhuǎn)換為不等式組得到結(jié)論。
解： (Ⅰ) .                              
由已知, 解得.                            
經(jīng)檢驗(yàn), 符合題意.                     ………… 3分
(Ⅱ) .
1)                       當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).
2)當(dāng)時(shí)，.
①                       若，即，
則在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
②若，即，則在上是減函數(shù).   
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是，
當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是，增區(qū)間是.   ……… 7分
(III)當(dāng)時(shí),由(Ⅱ)知的最小值是；         
易知在上的最大值是；                    
注意到,
故由題設(shè)知                            
解得.故的取值范圍是.              ……… 12分