Question

【題目】如圖，已知長(zhǎng)方形中，, 為的中點(diǎn)。將 沿折起，使得平面平面。

（1）求證： ；

（2）若點(diǎn)是線(xiàn)段上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)E在何位置時(shí)，二面角的余弦值為。

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）為的中點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）由已知條件可以比較容易的建立空間坐標(biāo)系，因此求解時(shí)可采用空間向量求解，求出直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量后，證明兩直線(xiàn)垂直即證明兩直線(xiàn)的方向向量是垂直的，二面角的大小可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)半平面法向量的夾角，因此（2）求解時(shí)先設(shè)出點(diǎn)的位置，直線(xiàn)的方向向量和平面法向量夾角轉(zhuǎn)化為二面角求得點(diǎn)的位置

試題解析：（1）因?yàn)槠矫?/span>平面， 是的中點(diǎn)， 取的中點(diǎn)O，連結(jié)OD，則平面，取AB的中點(diǎn)N，連結(jié)ON，則，以O為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件，得

，則

所以，故

（Ⅱ）設(shè)，因?yàn)槠矫?/span>的一個(gè)法向量

，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

取，得，所以，

因?yàn)?/span>

求得，所以為的中點(diǎn)。