【題目】設(shè)離心率為 的橢圓E:
+
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1 , F2 , 點(diǎn)P是E上一點(diǎn),PF1⊥PF2 , △PF1F2內(nèi)切圓的半徑為
﹣1.
(1)求E的方程;
(2)矩形ABCD的兩頂點(diǎn)C、D在直線y=x+2,A、B在橢圓E上,若矩形ABCD的周長(zhǎng)為 ,求直線AB的方程.
【答案】
(1)
解:∵離心率為e= =
,則a=
c,①
由PF1⊥PF2,則丨PF1丨2+丨PF2丨2=丨F1F2丨2=4c2,
由橢圓的定義可知;丨PF1丨+丨PF2丨=2a,則丨F1F2丨2=(丨PF1丨+丨PF2丨)2﹣2丨PF1丨丨PF2丨,
∴丨PF1丨丨PF2丨=2a2﹣2c2,
,△PF1F2的面積S,S= 丨PF1丨丨PF2丨=
×R×(丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨),
則a﹣c= ﹣1.②
由①②解得:a= ,c=1,
b2=a2﹣c2=1,
∴橢圓E的方程為 .
(2)
解:由題意設(shè)直線l的方程:y=x+m,A(x1,y1)、B(x2,y2),
則 ,整理得:3x2+4mx+2m2﹣2=0,
由△=16m2﹣4×3(2m2﹣2)=﹣2m2+3>0,解得﹣ <m<
,
由韋達(dá)定理可知:x1+x2=﹣ ,x1x2=
,
則丨AB丨=
=
=
,
直線AB,CD之間的距離d= =
,
由矩形ABCD的周長(zhǎng)為 ,則2(丨AB丨+d)=
,
則2( +
)=
,解得:m=1,
則直線AB的方程為y=x+1.
【解析】(1)由橢圓的離心率求得a= c,根據(jù)勾股定理及橢圓的定義,求得a﹣c=
﹣1.b2=a2﹣c2=1,即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線l的方程,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得丨AB丨,由兩平行之間的距離公式,由矩形的周長(zhǎng)公式2(丨AB丨+d)=
,代入即可求得m的值,求得直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地級(jí)市共有中學(xué)生,其中有
學(xué)生在
年享受了“國(guó)家精準(zhǔn)扶貧”政策,在享受“國(guó)家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生中困難程度分為三個(gè)等次:一般困難、很困難、特別困難,且人數(shù)之比為
,為進(jìn)一步幫助這些學(xué)生,當(dāng)?shù)厥姓O(shè)立“專項(xiàng)教育基金”,對(duì)這三個(gè)等次的困難學(xué)生每年每人分別補(bǔ)助
元、
元、
元.經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查發(fā)現(xiàn),當(dāng)?shù)厝司芍淠晔杖胼^上一年每增加
,一般困難的學(xué)生中有
會(huì)脫貧,脫貧后將不再享受“精準(zhǔn)扶貧”政策,很困難的學(xué)生有
轉(zhuǎn)為一般困難學(xué)生,特別困難的學(xué)生中有
轉(zhuǎn)為很困難學(xué)生.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該地級(jí)市
年到
年共
年的人均可支配年收入,對(duì)數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點(diǎn)圖和表中統(tǒng)計(jì)量的值,其中年份
取
時(shí)代表
年,
取
時(shí)代表
年,……依此類推,且
與
(單位:萬元)近似滿足關(guān)系式
.(
年至
年該市中學(xué)生人數(shù)大致保持不變)
(1)估計(jì)該市年人均可支配年收入為多少萬元?
(2)試問該市年的“專項(xiàng)教育基金”的財(cái)政預(yù)算大約為多少萬元?
附:對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù),
,…,
,其回歸直線方程
的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:圓心到直線的距離與圓的半徑之比為直線關(guān)于圓的距離比.
(1)設(shè)圓求過
(2,0)的直線關(guān)于圓
的距離比
的直線方程;
(2)若圓與
軸相切于點(diǎn)
(0,3)且直線
=
關(guān)于圓
的距離比
,求此圓的
的方程;
(3)是否存在點(diǎn),使過
的任意兩條互相垂直的直線分別關(guān)于相應(yīng)兩圓
的距離比始終相等?若存在,求出相應(yīng)的點(diǎn)
點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某學(xué)校高三年級(jí)共名男生中隨機(jī)抽取
名測(cè)量身高,測(cè)量發(fā)現(xiàn)被測(cè)學(xué)生身高全部介于
和
之間,將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組,第一組
;第二組
,
,第八組
,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分,若第一組與第八組人數(shù)相同,第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列.
()估計(jì)這所學(xué)校高三年級(jí)全體男生身高
以上(含
)的人數(shù).
()求第六組、第七組的頻率并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖.(鉛筆作圖并用中性筆描黑).
()若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生,記他們的身高分別為
、
,求滿足
的事件概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某玩具所需成本費(fèi)用為P元,且P=1 000+5x+x2,而每套售出的價(jià)格為Q元,其中Q(x)=a+
(a,b∈R),
(1)問:玩具廠生產(chǎn)多少套時(shí),使得每套所需成本費(fèi)用最少?
(2)若生產(chǎn)出的玩具能全部售出,且當(dāng)產(chǎn)量為150套時(shí)利潤(rùn)最大,此時(shí)每套價(jià)格為30元,求a,b的值.(利潤(rùn)=銷售收入-成本).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣e﹣x , 下列命題正確的有 . (寫出所有正確命題的編號(hào))
①f(x)是奇函數(shù);
②f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù);
③方程f(x)=x2+2x有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根;
④如果對(duì)任意x∈(0,+∞),都有f(x)>kx,那么k的最大值為2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)f(x)=2 cos2x﹣2sinxcosx﹣
的圖象向左平移t(t>0)個(gè)單位,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù),則t的最小值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓
的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線
的焦點(diǎn)相同,
為橢圓的左、右焦點(diǎn).
為橢圓上任意一點(diǎn),
面積的最大值為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線交橢圓
于
兩點(diǎn).若直線
與
的斜率分別為
,且
.求證:直線
過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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