Question

已知與函數(shù)f（x）=a^x-1+1（a＞0，a≠1）圖象關(guān)于y=x對稱的函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在直線mx+ny-8=0上，若m＞0，n＞0，則

1

m

+

2

n

的最小值為（　�。�

• A、-1
• B、1
• C、2
• D、2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=a^x-1+1（a＞0，a≠1）圖象恒過定點(diǎn)（1，2）得到關(guān)于y=x對稱的定點(diǎn)A（2，1），將其代入得到2m+n=8，將

1

m

+

2

n

寫成

1

8

（2m+n）（

1

m

+

2

n

）
利用基本不等式求出最小值．

解答： 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=a^x-1+1（a＞0，a≠1）圖象恒過定點(diǎn)（1，2）
又關(guān)于y=x對稱的函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，
所以A（2，1），點(diǎn)A在直線mx+ny-8=0上，
所以2m+n-8=0，
所以2m+n=8，
所以

1

m

+

2

n

=

1

8

（2m+n）（

1

m

+

2

n

）
=

1

8

（4+

4m

n

+

n

m

）
≥

1

8

(4+2

4m n • n m

)=1，當(dāng)且僅當(dāng)

4m

n

=

n

m

即n=2m=4時取等號；
所以

1

m

+

2

n

的最小值為1．
故選：B．

點(diǎn)評：當(dāng)均值不等式中等號不成立時，常利用函數(shù)單調(diào)性求最值．也可將已知條件適當(dāng)變形，再利用均值不等式，使得等號成立．均值不等式是不等式問題中的確重要公式，應(yīng)用十分廣泛．在應(yīng)用過程中，學(xué)生常忽視“等號成立條件”，特別是對“一正、二定、三相等”這一原則應(yīng)有很好的掌握．