Question

【題目】如圖，有一塊平行四邊形綠地，經(jīng)測(cè)量百米，百米，，擬過線段上一點(diǎn)設(shè)計(jì)一條直路（點(diǎn)在四邊形的邊上，不計(jì)路的寬度），將綠地分成兩部分，且右邊面積是左邊面積的3倍，設(shè)百米，百米．

（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，試確定點(diǎn)的位置；

（2）試求的值，使路的長(zhǎng)度最短．

Answer 1

【答案】（1）是的中點(diǎn)；（2）當(dāng)（百米）時(shí)，路最短為（百米）．

【解析】

試題分析：（1）只要利用面積公式求面積可得，先求得平行四邊形的面積，然后求得的面積（用表示），利用它們的面積關(guān)系可得值，知是中點(diǎn)；（2）為了求的長(zhǎng)，要分類，分在邊上和在上，前者利用面積求得，由余弦定理求得，由基本不等式得最小值，后者同樣利用面積關(guān)系求得，在梯形中求腰長(zhǎng)（可分類和），由二次函數(shù)性質(zhì)得最小值比較后得結(jié)論．

試題解析：（1）平行四邊形的面積為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，

∵，∴（百米），∴是的中點(diǎn)．

（2）①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，∵，∴ ，

在三角形中，，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

此時(shí)在中點(diǎn)處且與重合，符合題意；

②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，

∵，∴，

I．當(dāng)時(shí)，過作交于，

在中，，由余弦定理得；

II．當(dāng)，過作交于，

在中，，由余弦定理得；

由I、II可得

∴當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)在的八等分點(diǎn)（靠近）處且（百米），符合題意；

∴由①②可知，當(dāng)（百米）時(shí)，路最短為（百米）