Question

已知A，B為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，P為橢圓上異于A、B點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線AP、BP分別交橢圓的右準(zhǔn)線于M、N點(diǎn)，則△MFN面積的最小值是（　　）

• A、8
• B、9
• C、11
• D、12

Answer 1

分析：先設(shè)P（s，t），由題設(shè)條件得兩直線PA，PB的方程，與準(zhǔn)線方程聯(lián)立，解出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用s，t表示出線段MN的長(zhǎng)度，再由點(diǎn)P在橢圓上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，用s表示出t，消去t，得到線段MN的長(zhǎng)關(guān)于s的函數(shù)，又點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離是3，由此MFN面積可表示為s的函數(shù)，由其形式知，可用判別式法求最小值

解答：解：設(shè)P（s，t），由題意直線PA的方程為

y

t

+

x-2

s+2

=1，即，直線PB的方程為

y

t

+

x+2

s-2

=1
由于橢圓

x2

4

+

y2

3

=1故a=2，b=

3

，c=1，故其右準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

=4，F(xiàn)（1，0），故F到準(zhǔn)線的距離是3
∵直線AP、BP分別交橢圓的右準(zhǔn)線于M、N點(diǎn)
∴M（4，

6

s+2

t），N（4，

2

s-2

t）
故有|MN|=|

6

s+2

t-

2

s-2

t|=|

4t(s-4)

s2-4

|
∴S²=

1

4

×|MN|²×9=

9

4

×|

4t(s-4)

s2-4

|①
又P（s，t）在橢圓上，故有t2=3-

s2

4

 代入①整理得S²=27×

(4-s)2

4-s2

令M²=

(4-s)2

4-s2

得（M²+1）s²-8s+16-4M²=0，此方程恒有根
故△=64-4（M²+1）（16-4M²）≥0
解得M²≥3，故M≥

3

或M≤-

3

（舍）
∴S²=27×

(4-s)2

4-s2

≥27×3
∴S≥9
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的關(guān)系，考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．解題的關(guān)鍵是根據(jù)意建立起面積關(guān)于坐標(biāo)的函數(shù)，掌握用判別式法求值域也是本題的一個(gè)難點(diǎn)，解題時(shí)運(yùn)算技巧很重要．本題運(yùn)算量很大，要嚴(yán)謹(jǐn)，避免因運(yùn)算失誤導(dǎo)致解題失敗．