Question

如圖，已知拋物線的焦點為，過焦點且不平行于軸的動直線交拋物線于，兩點，拋物線在、兩點處的切線交于點.

（Ⅰ）求證：，，三點的橫坐標成等差數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)直線交該拋物線于，兩點，求四邊形面積的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）可設(shè)直線的方程（），，，由消去，得，. ，，由，得，所以，直線的斜率為直線的方程為 同理，直線的方程為  M的橫坐標即，，三點的橫坐標成等差數(shù)列（Ⅱ）32

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知，得，顯然直線的斜率存在且不為0，則可設(shè)直線的方程

（），，，

由消去，得，

. ，         2分

由，得，所以，直線的斜率為，

所以，直線的方程為，又，

所以，直線的方程為      ①         4分

同理，直線的方程為      ②          5分

②-①并據(jù)得點M的橫坐標，

即，，三點的橫坐標成等差數(shù)列          7分

（Ⅱ）由①②易得y=-1,所以點M的坐標為（2k,-1）().

所以，則直線MF的方程為          8分

設(shè)C(x₃,y₃),D(x₄,y₄), 由消去，得，

，.             9分

又

               10分

         12分

因為，所以，

所以，，

當且僅當時，四邊形面積的取到最小值         14分

考點：拋物線方程及直線與拋物線的相交的位置關(guān)系弦長等

點評：當直線與圓錐曲線相交時，常聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次方程，進而利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求的方法化簡，在求解時弦長公式經(jīng)常用到，本題中函數(shù)在某一點的切線問題要借助于導數(shù)的幾何意義求出切線斜率