Question

已知

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若函數(shù)f（x）=

m

•

n

，且函數(shù)f（x）的圖象與直線(xiàn)y=2兩相鄰公共點(diǎn)間的距離為π．
（l）求ω的值；
（2）在△ABC中，以a，b，c（分別是角A，B，C的對(duì)邊，且a=

3

，f（A）=1，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式可得函數(shù)f（x）=

m

•

n

=2sin(2ωx+

π

6

)．再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出ω．
（2）由（1）可知：f（x）=2sin(2x+

π

6

)，利用f（A）=1，可得sin(2A+

π

6

)=

1

2

，由0＜A＜π，可得2A+

π

6

=

5π

6

，解得A．利用正弦定理得：b=2sinB，c=2sinC，可得△ABC的周長(zhǎng)l=

3

+2sinB+2sinC=

3

+2

3

sin(B+

π

6

)，即可得出．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

m

•

n

=cos²ωx-sin²ωx+2

3

sinωxcosωx
=cos2ωx+

3

sin2ωx
=2sin(2ωx+

π

6

)．
函數(shù)f（x）的圖象與直線(xiàn)y=2兩相鄰公共點(diǎn)間的距離為π，ω＞0．
∴T=

2π

2ω

=π，解得ω=1．
（2）由（1）可知：f（x）=2sin(2x+

π

6

)，
∵f（A）=1，∴2sin(2A+

π

6

)=1．∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

．
由正弦定理得：b=2sinB，c=2sinC，
∴△ABC的周長(zhǎng)l=

3

+2sinB+2sinC=

3

+2sinB+2sin(

2π

3

-B)
=

3

+3sinB+

3

cosB=

3

+2

3

sin(B+

π

6

)．
∵0＜B＜

2π

3

，∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
∴三角形周長(zhǎng)的取值范圍是(2

3

，3

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正弦定理、三角形的周長(zhǎng)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．