Question

7．已知f'（x）為f（x）的導函數(shù)，若f（x）=ln$\frac{x}{2}$，且b$\int_1^b$$\frac{1}{x^3}$dx=2f'（a）+$\frac{1}{2}b}$-1，則a+b的最小值為（　�。�

• A． $4\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． $\frac{9}{2}+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 首先由已知的等式得到a，b的關(guān)系式，將所求轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最小值．

解答 解：由b$\int_1^b$$\frac{1}{x^3}$dx=2f'（a）+$\frac{1}{2}b}$-1，得到b（-$\frac{1}{2}$x^-2）|${\;}_{1}^$=$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{2}b}$-1，即$\frac{2}{a}+\frac{1}{2b}$=1，且a，b＞0，
所以a+b=（a+b）（$\frac{2}{a}+\frac{1}{2b}$）=$\frac{5}{2}+\frac{2b}{a}+\frac{a}{2b}$$≥\frac{9}{2}$；當且僅當$\frac{2b}{a}=\frac{a}{2b}$時等號成立；
故選C

點評 本題考查了定積分、導數(shù)的計算依據(jù)利用基本不等式求代數(shù)式的最小值．