Question

已知定義域為R的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（

1

2

）=0，求不等式f（log₄x）＞0的解集．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．

解答： 解：∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-

1

2

）=f（

1

2

）=0，…（2分）
又∵f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)，…（4分）
∴f（log₄x）＞0等價為f（|log₄x|）＞f（

1

2

），
即|log₄x|＞

1

2

，
則log₄x＞

1

2

或log₄x＜-

1

2

，…（8分）
∴x＞2或0＜x＜

1

2

．…（10分）
故不等式的解集是 （0，

1

2

）∪（2，+∞）     …（12分）

點評：本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．