Question

定義在R上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：
①對(duì)任意x∈R，有f（x+2）≥f（x）+2；②對(duì)任意x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3．
設(shè)g（x）=f（x）-x．
（Ⅰ）證明：g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）；
（Ⅱ）若f（4）=5，求f（2014）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過(guò)g（x）=f（x）-x，利用x+2，x+3分別代替x推出方程，由條件①，②轉(zhuǎn)化，即可推出g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ） g（x+2）≥g（x），然后推出 g（x+3）≤g（x），說(shuō)明g（x）是以6為周期的周期函數(shù)所然后求解函數(shù)值．

解答： （本小題滿(mǎn)分10分）
（Ⅰ）證明：因?yàn)間（x）=f（x）-x，
所以g（x+2）=f（x+2）-x-2，g（x+3）=f（x+3）-x-3．
由條件①，②可得g（x+2）=f（x+2）-x-2≥f（x）+2-x-2=f（x）-x=g（x）；【（2分）】
③g（x+3）=f（x+3）-x-3≤f（x）+3-x-3=f（x）-x=g（x）． ④【（4分）】
所以g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）．
（Ⅱ）解：由③得 g（x+2）≥g（x），
所以g（x+6）≥g（x+4）≥g（x+2）≥g（x）．【（6分）】
由④得 g（x+3）≤g（x），
所以g（x+6）≤g（x+3）≤g（x）．【（7分）】
所以必有g(shù)（x+6）=g（x），
即g（x）是以6為周期的周期函數(shù)．【（8分）】
所以g（2014）=g（335×6+4）=g（4）=f（4）-4=1．【（9分）】
所以f（2014）=g（2014）+2014=2015．【（10分）】

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的周期性以及不等式的證明，難度比較大．