Question

已知f（x）=

x2+x，x≥0 -x2+x，x＜0

，則不等式f（x²-x+1）＜12解集是

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：由題意可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．令x²+x=12，求得x=3或x=-4（舍去）．故由不等式f（x²-x+1）＜12，可得 x²-x+1＜3，由此求得x的范圍．

解答： 解：∵f（x）=

x2+x，x≥0 -x2+x，x＜0

，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：
f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（0）=0，可得函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
令x²+x=12，求得x=3 或x=-4（舍去）．
∴由不等式f（x²-x+1）＜12，可得 x²-x+1＜3，
即 （x+1）（x-2）＜0，
解得-1＜x＜2，
故答案為：（-1，2）．

點評：本題主要考查分段函數(shù)的應用，考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應用，屬于基礎題．