【題目】設(shè)n≥3，n∈N* ， 在集合{1，2，…，n}的所有元素個(gè)數(shù)為2的子集中，把每個(gè)子集的較大元素相加，和記為a，較小元素之和記為b．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，求a，b的值；
（2）求證：對(duì)任意的n≥3，n∈N* ， 為定值．

【答案】
（1）解：當(dāng)n=3時(shí)，集合{1，2，3}的所有元素個(gè)數(shù)為2的子集

為{1，2}，{1，3}，{2，3}，

即有a=2+3+3=8，b=1+1+2=4


（2）證明：對(duì)任意的n≥3，n∈N*， 為定值 ．

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．

當(dāng)n=3時(shí)，由（1）可得a=8，b=4， 為 ，成立；

假設(shè)n=k時(shí)， 為定值 ，

則n=k+1時(shí)，

a'=a+（k+1）k，

b'=b+（1+2+3+…+k）=b+ k（1+k），

由a=2b，

可得a'=2b+k（1+k）=2b'，

則n=k+1時(shí)，結(jié)論仍然成立．

故對(duì)任意的n≥3，n∈N*， 為定值


【解析】（1）當(dāng)n=3時(shí)一一寫(xiě)出所有符合題意的子集；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】定義在R上的函數(shù)y=f（x），恒有f（x）=f（2﹣x）成立，且f′（x）（x﹣1）＞0，對(duì)任意的x1＜x2 ， 則f（x1）＜f（x2）成立的充要條件是（ ）
A.x2＞x1≥1
B.x1+x2＞2
C.x1+x2≤2
D.x2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=（ax﹣1）ex（a≠0，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的極值；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）圖象上任意一點(diǎn)處的切線為l，求l在x軸上的截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知a＞0，且a≠1，函數(shù)f（x）=ax﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．
（1）若a＞1，證明函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值；
（3）若函數(shù)F（x）的圖象過(guò)原點(diǎn)，且F′（x）=g（x），當(dāng)a＞e 時(shí)，函數(shù)F（x）過(guò)點(diǎn)A（1，m）的切線至少有2條，求實(shí)數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將2張邊長(zhǎng)均為1分米的正方形紙片分別按甲、乙兩種方式剪裁并廢棄陰影部分．

（1）在圖甲的方式下，剩余部分恰能完全覆蓋某圓錐的表面，求該圓錐的母線長(zhǎng)及底面半徑；
（2）在圖乙的方式下，剩余部分能完全覆蓋一個(gè)長(zhǎng)方體的表面，求長(zhǎng)方體體積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x3+x2 ．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）當(dāng)x∈[m，n]（0＜m＜n）時(shí)，若f（x）的值域?yàn)閇3m2+2m﹣1，3n2+2n﹣1]，求實(shí)數(shù)m，n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，直線y=ax+2與曲線y=f（x）交于A、B兩點(diǎn)，其中A是切點(diǎn)，記h（x）= ，g（x）=f（x）﹣ax，則下列判斷正確的是（ ）

A.h（x）只有一個(gè)極值點(diǎn)
B.h（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，且極小值點(diǎn)小于極大值點(diǎn)
C.g（x）的極小值點(diǎn)小于極大值點(diǎn)，且極小值為﹣2
D.g（x）的極小值點(diǎn)大于極大值點(diǎn)，且極大值為2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x2+c，g（x）=aex的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)為P（2，t），且曲線y=f（x），y=g（x）在P點(diǎn)處有相同的切線，若函數(shù)f（x）﹣g（x）的負(fù)零點(diǎn)在區(qū)間（k，k+1）（k∈Z）內(nèi)，則k= ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：f（x+4）=f（x）+f（2），且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減，給出以下四個(gè)命題：
①f（2）=0；
②x=﹣4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸；
③函數(shù)y=f（x）在[8，10]單調(diào)遞增；
④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的兩根為x1 ， x2 ， 則x1+x2=﹣8．
上述命題中所有正確命題的序號(hào)為 ．

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