【題目】如圖，在三棱柱中，為正三角形，，， ，點(diǎn)在線段上，且.

（1）證明：；

（2）求和平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

(1)要證明,只需證明平面,只需證明,由，，所以，所以,因?yàn)?/span>，所以，又,則易證.(2) 取中點(diǎn)，證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，和平面所成角的正弦值就是和設(shè)平面的一個(gè)法向量所成角的余弦值

（1）證明：由，，所以，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

又，.

所以平面，所以.

（2）解：由（1）知，又，所以，

又，，所以平面，

平面，所以平面平面.

取中點(diǎn)，由為正三角形知，平面，

又平面平面，所以平面，

以為坐標(biāo)系原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，，

，，

，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則且，

所以，取，則，，

.

所以，

所以直線和平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)校為了了解該校高三年級(jí)學(xué)生寒假在家自主學(xué)習(xí)的情況，隨機(jī)對(duì)該校300名高三學(xué)生寒假的每天學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：h）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算該校高三年級(jí)學(xué)生的平均每天學(xué)習(xí)時(shí)間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）；

（Ⅱ）該校規(guī)定學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)4h為合格，否則不合格．已知這300名學(xué)生中男生有140人，其中合格的有70人，請(qǐng)補(bǔ)全下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否有99.9%的把握認(rèn)為該校高三年級(jí)學(xué)生的性別與學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)合格有關(guān)？

男生

女生

總計(jì)

不合格

合格

70

總計(jì)

140

160

300

參考公式：，其中．

參考附表：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的內(nèi)接等邊三角形的面積為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）試求拋物線的方程；

（2）已知點(diǎn)兩點(diǎn)在拋物線上，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形．

①求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；

②過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，試求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明其軌跡是何種曲線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下圖統(tǒng)計(jì)了截止到2019年年底中國(guó)電動(dòng)汽車(chē)充電樁細(xì)分產(chǎn)品占比及保有量情況，關(guān)于這5次統(tǒng)計(jì)，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.私人類(lèi)電動(dòng)汽車(chē)充電樁保有量增長(zhǎng)率最高的年份是2018年

B.公共類(lèi)電動(dòng)汽車(chē)充電樁保有量的中位數(shù)是25.7萬(wàn)臺(tái)

C.公共類(lèi)電動(dòng)汽車(chē)充電樁保有量的平均數(shù)為23.12萬(wàn)臺(tái)

D.從2017年開(kāi)始，我國(guó)私人類(lèi)電動(dòng)汽車(chē)充電樁占比均超過(guò)50%

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年，河南省鄭州市的房?jī)r(jià)依舊是鄭州市民關(guān)心的話題．總體來(lái)說(shuō)，二手房房?jī)r(jià)有所下降，相比二手房而言，新房市場(chǎng)依然強(qiáng)勁，價(jià)格持續(xù)升高．已知銷(xiāo)售人員主要靠售房提成領(lǐng)取工資．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)鄭州市某新房銷(xiāo)售人員一年的工資情況的結(jié)果如圖所示，若近幾年來(lái)該銷(xiāo)售人員每年的工資總體情況基本穩(wěn)定，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.月工資增長(zhǎng)率最高的為8月份

B.該銷(xiāo)售人員一年有6個(gè)月的工資超過(guò)4000元

C.由此圖可以估計(jì)，該銷(xiāo)售人員2020年6，7，8月的平均工資將會(huì)超過(guò)5000元

D.該銷(xiāo)售人員這一年中的最低月工資為1900元

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，且，.

（1）證明：平面

（2）當(dāng)直線與平面所成角的正切值為時(shí)，求銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，長(zhǎng)度單位相同，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線過(guò)點(diǎn)傾斜角為.

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并寫(xiě)出直線的參數(shù)方程；

（2）當(dāng)時(shí)，直線交曲線于，兩點(diǎn)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】圖1是矩形，，，M為的中點(diǎn)，將沿翻折，得到四棱錐，如圖2．

（Ⅰ）若點(diǎn)N為的中點(diǎn)，求證：平面；

（Ⅱ）若．求點(diǎn)A到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)，函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，且對(duì)任意，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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