Question

【題目】設函數，其中是自然對數的底數.

(1)若在上為單調函數，求實數的取值范圍；

(2)若，求證： 有唯一零點的充要條件是.

Answer 1

【答案】（1）；(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）討論兩種情況，當 時，不是單調函數，當時，由， 在為單調遞增函數，從而可得結果；(2) 當時，研究函數的單調性可得函數有唯一零點，若函數有唯一零點，用反證法可證明只有合題意.

試題解析：（1）

當a>0時，由得

當時， ， 為單調增函數；

當時， ， 為單調減函數，

所以在上不為單調函數

當時，由， 在為單調遞增函數，

所以實數得取值范圍是。

(2)充分性：當時， ，

令得

當時， ， 為單調增函數，所以

當時， ， 為單調減函數，所以

所以函數有唯一零點

必要性：設函數有唯一零點，因為，所以，

因為，由（1）知，當且僅當時，取得最小值

記，所以

令得

當時， ， 為單調減函數，

即

因為，且，

所以在內有零點，與題意相矛盾。

當時，同理有

因為，存在- ，有

所以在內有零點，與題意相矛盾。

故

綜上， 有唯一零點的充要條件是。