Question

10．設(shè)F₁、F₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F₂的直線交雙曲線右支于A、B兩點(diǎn)．若AF₂⊥AF₁，且|BF₂|=2|AF₁|，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{17}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• C． $\sqrt{13}$
• D． $\frac{\sqrt{58}}{4}$

Answer 1

分析 由題意，設(shè)|AF₂|=m，則|BF₂|=2m，利用勾股定理，求出a，m的關(guān)系，再利用勾股定理確定a，c的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，設(shè)|AF₂|=m，則|BF₂|=2m，
∴|AF₁|=2a+m，|BF₁|=2a+2m，
∵AF₂⊥AF₁，
∴（2a+2m）²=（2a+m）²+（3m）²，
∴m=$\frac{2}{3}$a，
∵（2c）²=（2a+m）²+（m）²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率，考查勾股定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．