Question

已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)(是圓心)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.線段的中垂線分別與交于兩點(diǎn)．

（I）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）直線經(jīng)過F₂，與拋物線y²=4x交于A₁，A₂兩點(diǎn)，與 交于B₁，B₂兩點(diǎn).當(dāng)以B₁B₂為直徑的圓經(jīng)過F₁時(shí)，求|A₁A₂|.

Answer 1

 解：（I）由題意得，圓的半徑為，且 

從而  ………… 2分

∴ 點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,   ………… 4分

其中長軸,得到,焦距，

則短半軸

橢圓方程為:     ………… 5分

   （Ⅱ）當(dāng)直線 與x軸垂直時(shí)，B₁(1，),B₂(1，-),又F₁(-1,0),

   此時(shí)，所以以B₁B₂為直徑的圓不經(jīng)過F₁.不滿足條件.……………（6分）

當(dāng)直線 不與x軸垂直時(shí)，設(shè)L：y=k(x-1)

        由

    因?yàn)榻裹c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以恒有兩個(gè)交點(diǎn).

        設(shè)B₁(x₁,y₁)，B₂（x₂,y₂）,則

        因?yàn)橐訠₁B₂為直徑的圓經(jīng)過F₁，所以，又F₁(-1，0)

        所以（-1-x₁）(-1-x₂)+y₁y₂=0，即（1+k²）x₁x₂+(1-k²)(x₁+x₂)+1+k²=0

        所以解得           ……………（8分）

        由得k²x²-(2k²+4)x+k²=0

        因?yàn)橹本� 與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以

        設(shè)A₁(x₃,y₃)  ，A₂(x₄,y₄)，則

        所以 .     …………(12分)