Question

已知點是圓上任意一點(是圓心)，點與點關于原點對稱.線段的中垂線分別與交于兩點．

（I）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）直線經過F₂，與拋物線y²=4x交于A₁，A₂兩點，與 交于B₁，B₂兩點.當以B₁B₂為直徑的圓經過F₁時，求|A₁A₂|.

Answer 1

 解：（I）由題意得，圓的半徑為，且 

從而  ………… 2分

∴ 點M的軌跡是以為焦點的橢圓,   ………… 4分

其中長軸,得到,焦距，

則短半軸

橢圓方程為:     ………… 5分

   （Ⅱ）當直線 與x軸垂直時，B₁(1，),B₂(1，-),又F₁(-1,0),

   此時，所以以B₁B₂為直徑的圓不經過F₁.不滿足條件.……………（6分）

當直線 不與x軸垂直時，設L：y=k(x-1)

        由

    因為焦點在橢圓內部，所以恒有兩個交點.

        設B₁(x₁,y₁)，B₂（x₂,y₂）,則

        因為以B₁B₂為直徑的圓經過F₁，所以，又F₁(-1，0)

        所以（-1-x₁）(-1-x₂)+y₁y₂=0，即（1+k²）x₁x₂+(1-k²)(x₁+x₂)+1+k²=0

        所以解得           ……………（8分）

        由得k²x²-(2k²+4)x+k²=0

        因為直線 與拋物線有兩個交點，所以

        設A₁(x₃,y₃)  ，A₂(x₄,y₄)，則

        所以 .     …………(12分)