Question

從數(shù)列中抽出一些項(xiàng)，依原來的順序組成的新數(shù)列叫數(shù)列的一個(gè)子列.
（1）寫出數(shù)列的一個(gè)是等比數(shù)列的子列；
（2）若是無窮等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比且，則數(shù)列是否存在一個(gè)子列
為無窮等差數(shù)列？若存在，寫出該子列的通項(xiàng)公式；若不存在，證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力.第一問，在數(shù)列的所有項(xiàng)中任意抽取幾項(xiàng)，令其構(gòu)成等比數(shù)列即可，但是至少抽取3項(xiàng)；第二問，分2種情況進(jìn)行討論：和，利用數(shù)列的單調(diào)性，先假設(shè)存在，在推導(dǎo)過程中找出矛盾即可.
試題解析：（1）（若只寫出2,8,32三項(xiàng)也給滿分）.           4分
（2）證明：假設(shè)能抽出一個(gè)子列為無窮等差數(shù)列，設(shè)為，通項(xiàng)公式為.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043026519371.png" style="vertical-align:middle;" />
所以.
（1）當(dāng)時(shí)，∈（0，1]，且數(shù)列是遞減數(shù)列，
所以也為遞減數(shù)列且∈（0，1]，,
令，得，
即存在使得，這與∈（0，1]矛盾.
（2）當(dāng)時(shí)，≥1，數(shù)列是遞增數(shù)數(shù)列，
所以也為遞增數(shù)列且≥1，.
因?yàn)閐為正的常數(shù)，且，
所以存在正整數(shù)m使得.
令，則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240430268781145.png" style="vertical-align:middle;" />=，
所以，即，但這與矛盾，說明假設(shè)不成立.
綜上，所以數(shù)列不存在是無窮等差數(shù)列的子列.            13分