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7.定義在[-4,4]上的奇函數(shù)f(x),已知當(dāng)x∈[-4,0]時,f(x)=14x+a3x(a∈R).
(1)求f(x)在[0,4]上的解析式;
(2)若x∈[-2,-1]時,不等式f(x)≤m2x-13x1恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求出a,設(shè)x∈[0,4],-x∈[-4,0],易求f(-x),根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得f(x)與f(-x)的關(guān)系;
(2)分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的最值問題得以解決.

解答 解:(1)f(x)是定義在[-4,4]上的奇函數(shù),
∴f(0)=1+a=0,
∴a=-1,
fx=14x13x,
設(shè)x∈[0,4],
∴-x∈[-4,0],
fx=fx=[14x13x]=3x4x,
∴x∈[0,4]時,f(x)=3x-4x
(2)∵x∈[-2,-1],fxm2x13x1
14x13xm2x13x1
14x+23xm2xx∈[-2,-1]時恒成立,
∵2x>0,
12x+223xm,
gx=12x+223x在R上單調(diào)遞減,
∴x∈[-2,-1]時,gx=12x+223x的最大值為g2=122+2232=172,
m172

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用,不等式恒成立的問題,考查學(xué)生解決問題的能力,屬于中檔題.

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