Question

在△ABC中，已知a，b，c分別為△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿足a•cosC-b•cosB=b•cosB-c•cosA．
（1）求B的值；
（2）求2sin²A+cos（A-C）的范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）由已知利用正弦定理得：2sinBcosB=sinB，即可求B的值；
（2）△ABC中，由B=

π

3

，可得 A+C=

2π

3

，即 C=

2π

3

-A，A-C=2A-

2π

3

．利用三角恒等變換化簡 2sin²A+cos（A-C）為
1-

3

sin（

π

3

-2A）．根據(jù) 0＜A＜

2π

3

，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得即2sin²A+cos（A-C）的范圍．

解答： 解：∵a•cosC-b•cosB=b•cosB-c•cosA．
∴2bcosB=acosC+ccosA
∴利用正弦定理得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（C+A）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosB=

1

2

，
∵B為三角形的內(nèi)角，
∴B=

π

3

．
（2）△ABC中，A+B+C=π，又B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，即 C=

2π

3

-A，A-C=2A-

2π

3

．
∴2sin²A+cos（A-C）=2sin²A+cos（2A-

2π

3

）=1-cos2A+cos2A•（-

1

2

）+sin2A•

3

2

=1-cos2A-

1

2

cos2A+

3

2

sin2A
=1-

3

sin（

π

3

-2A）．
∵0＜A＜

2π

3

，∴-π＜

π

3

-2A＜

π

3

，∴-1≤sin（

π

3

-2A）＜

3

2

，-

1

2

＜1-sin（

π

3

-2A）≤

3

+1，
即2sin²A+cos（A-C）的范圍是（-

1

2

，

3

+1]．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦定理以及正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基本知識的考查．