Question

與直線y=kx切于點(

6

5

，

8

5

)，與x軸相切，且圓心在第一象限內的圓的標準方程為______．

Answer 1

設圓心A坐標為（a，b）（a＞0，b＞0），
由圓與x軸相切得到圓的半徑r=|b|=b，
又圓與直線y=kx切于點B(

6

5

，

8

5

)，得到|AB|=r，
即

(a- 6 5 )2+(b- 8 5 )2

=b，即5a²-12a-16b+20=0①，
又(

6

5

，

8

5

)在直線y=kx上，代入直線可得k=

4

3

，
所以直線方程為y=

4

3

x，即4x-3y=0，
所以圓心到直線的距離d=

|4a-3b|

5

=b，
即（2a+b）（a-2b）=0，
∵2a+b≠0，∴a-2b=0，即a=2b②，
把②代入①得：b²-2b+1=0，即（b-1）²=0，解得b=1，
把b=1代入②得：a=2，
所以圓心坐標為（2，1），半徑r=1，
則圓的標準方程為：（x-2）²+（y-1）²=1．
故答案為：（x-2）²+（y-1）²=1