Question

【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足a1=2，a2=4（a3﹣a4），數(shù)列{bn}滿足bn=3﹣2log2an ．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（2）令cn= ，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn；
（3）若λ＞0，求對所有的正整數(shù)n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立的k的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，

∵a1=2，a2=4（a3﹣a4），

∴ ，

故數(shù)列{an}是以2為首項， 為公比的等比數(shù)列，

∵ ，

∴數(shù)列{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．

∴ ；

（2）解：∵cn= =（2n﹣1）2n﹣2，

∴Tn= ×1+1×3+2×5+…+2n﹣2×（2n﹣1），

，

兩式相減得：

= ，

∴ ；

（3）解：由（1）知 ，

∴數(shù)列{a2nbn}為單調遞減數(shù)列；

∴當n≥1時， ，即a2nbn最大值為1，

由2λ2﹣kλ+2＞1可得 ，

而當λ＞0時， ，當且僅當 時取等號，

∴ ．

【解析】（1）通過設等比數(shù)列{an}的公比為q，通過a1=2、a2=4（a3﹣a4）計算可知數(shù)列{an}是以2為首項、 為公比的等比數(shù)列，進而數(shù)列{bn}是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，計算即得結論；（2）通過（1）可知cn=（2n﹣1）2n﹣2 ， 利用錯位相減法計算即得結論；（3）通過（1）知數(shù)列{a2nbn}為單調遞減數(shù)列，進而只需解不等式2λ2﹣kλ+2＞a2b1 ， 利用基本不等式計算即得結論．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等比數(shù)列的通項公式（及其變式）和數(shù)列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握通項公式：；數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系．