Question

【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足a1=2，a2=4（a3﹣a4），數(shù)列{bn}滿足bn=3﹣2log2an ．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）令cn= ，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn；
（3）若λ＞0，求對(duì)所有的正整數(shù)n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立的k的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

∵a1=2，a2=4（a3﹣a4），

∴ ，

故數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，

∵ ，

∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．

∴ ；

（2）解：∵cn= =（2n﹣1）2n﹣2，

∴Tn= ×1+1×3+2×5+…+2n﹣2×（2n﹣1），

，

兩式相減得：

= ，

∴ ；

（3）解：由（1）知 ，

∴數(shù)列{a2nbn}為單調(diào)遞減數(shù)列；

∴當(dāng)n≥1時(shí)， ，即a2nbn最大值為1，

由2λ2﹣kλ+2＞1可得 ，

而當(dāng)λ＞0時(shí)， ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，

∴ ．

【解析】（1）通過(guò)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，通過(guò)a1=2、a2=4（a3﹣a4）計(jì)算可知數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)、 為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；（2）通過(guò)（1）可知cn=（2n﹣1）2n﹣2 ， 利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論；（3）通過(guò)（1）知數(shù)列{a2nbn}為單調(diào)遞減數(shù)列，進(jìn)而只需解不等式2λ2﹣kλ+2＞a2b1 ， 利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握通項(xiàng)公式：；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．